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Figura1. Esquema de fuerza actuante sobre las aspas de la turbina.

· FUERZAS EN Y (GRAVITACIONAL)

La fuerza gravitacional o peso que actúa sobre una masa de agua dm que sale del chorro se determina con la siguiente expresión:

Se conoce que el tiempo tf en el eje x es el mismo de la coordenada y. Por lo tanto, la expresión de tiempo en la coordenada x es:

El tiempo tf es el tiempo que le toma al chorro en salir de la tobera y hacer contacto con el aspa de la turbina. Ahora se reemplaza en la expresión (i) la resultante de tf de la expresión (ii):

· FUERZAS EN X (POTENCIAL HIDRÁULICA. Ver figura1)

Se tiene el diferencial de momentum lineal dp que se encuentra en función del dm de agua que sale del chorro y la velocidad de salida del agua de la tobera (vo):

Se deriva la expresión (iv) respecto al tiempo y se obtiene la fuerza que ejerce el chorro de agua sobre el álabe en el eje x:

· VECTOR DE FUERZA SOBRE EL ÁLABE

Se tiene que el vector de fuerza que hace el chorro del agua sobre el álabe es:

Se evalúa numéricamente el vector fuerza de la expresión (vi):

La magnitud de la fuerza dada en (vii) es:

El ángulo del vector fuerza respecto al eje horizontal x

En los resultados dados en (viii) y (ix) es evidente que la fuerza gravitacional (Fyf) es insignificante en comparación con la fuerza hidráulica que actua a lo largo del eje horizontal x. Al ver esto se concluye que la fuerza hidráulica que actúa en el eje x es la que dá el movimiento a la turbina y por lo tanto su energía mecánica. De tal modo que:

CÁLCULO DE TORQUE (τ) SOBRE EL RODETE

· TORQUE QUE HACE LA FUERZA DEL CHORRO DE AGUA SOBRE EL SISTEMA ÁLABE-RODETE

La fuerza del chorro que sale de la tobera al golpear sobre los álabes hace torque sobre el rodete que contiene éstos. Por lo tanto, se calcula el torque desde el centro geométrico del rodete hasta el punto de aplicación de la fuerza que se sitúa en el centro de la longitud de cada álabe:

El valor del vector torque es:

· SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A TORQUES

La suma de todos los torques sobre el sistema álabe-rodete genera una aceleración angular multiplicada por su inercia. Hay otras fuerzas que ejercen torque sobre el sistema como la fuerza de fricción entre el agua y las aspas, o el soporte del rotor en el eje. Se supone que la magnitud del torque que ocasiona el chorro de agua es muchísimo mayor que el generado por las fuerzas de fricción, por lo tanto, solo se tendrá en cuenta en los cálculos el torque generado por la fuerza del chorro de agua:

· CÁLCULO DE LA INERCIA DEL SITEMA ÁLABE-RODETE

VOLUMEN APROXIMADO DE CADA ASPA O CUCHARA

Las cucharas y el rodete de esta turbina Pelton se encuentran hechos en cobre, por lo tanto, se halla el volumen y el peso que ocupan todas las cucharas, esto con el fin de modelar el sistema álabes-rodete como un solo rodete que incluya el volumen y el peso de los álabes:

La turbina Pelton de éste proyecto cuenta con 14 álabes o cucharas, por lo que su volumen total es:

VOLUMEN DEL RODETE

El rodete es una placa circular maciza que tiene un calibre de 3cm, por lo que su volumen es:

VOLUMEN SISTEMA ÁLABES-RODETE

ÁREA DE LA PLACA SISTEMA ÁLABES-RODETE

MASA DEL SISTEMA ÁLABES-RODETE

CÁLCULO DE LA INERCIA SISTEMA ÁLABE-RODETE

El sistema álabes-rodete es una placa circular de cobre maciza con un calibre de 3 cm que gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro, por lo tanto, el cálculo de su inercia es:

Ahora se encuentra una expresión para el radio del sistema álabe-rodete (R), con el fin de reemplazarla en la expresión (xiii), utilizando la expresión (xi):

Se reemplazan en la expresión (xiii) las expresiones (xii) y (xiv), para obtener el valor de la inercia:

Se halla el valor de la inercia del sistema álabes-rodete, utilizando la expresión (xv):

· CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN ANGULAR DE LA TURBINA

Como se había mostrado, la sumatoria de torque es igual a la inercia de la turbina por su aceleración angular:

Por lo tanto, la aceleración angular es:

FRECUENCIA DE LA TURBINA

La turbina mueve un rotor en el generador que produce una corriente inducida, donde la frecuencia (Hz) de la turbina y por consiguiente del rotor debe ser igual a la frecuencia con la que trabaja la red eléctrica del lugar donde se instalará la turbina, es decir, para Colombia a una frecuencia de 60 Hz (corriente alterna). Cuando la turbina gira a la misma frecuencia de la red eléctrica o campo magnético, se dice que el generador es un generador de velocidad síncrona, y las revoluciones en máquinas síncronas se rigen por la siguiente expresión:

La variable que falta por definir en la expresión (xvii) es el número de par de polos del generador. Como se conoce un generador se compone básicamente de dos parte: El estator, que es la parte fija del generador donde se alojan las bobinas sobre las que se induce una corriente por ley de Faraday, y el rotor que es la parte móvil e inductora del generador, cuyo movimiento mecánico es proporcionado, en este caso, por una turbina hidráulica (Pelton). Se sabe que lo que induce una corriente en un conductor es el cambio del flujo magnético respecto al tiempo, por lo que en esta situación dicho campo magnético es proporcionado por un par de polos (un imán de un polo + y otro -), que pueden ir situados tanto, en el estator como en el rotor. Por razones prácticas en un generador que es alimentado con energía mecánica proveniente de una turbina hidráulica, el par de polos se ubican en el rotor. Para hallar el número de revoluciones de la turbina, en este caso, se colocarán 9 pares de polos, por lo que se obtiene una frecuencia de:

Figura2. Rotor turbina Pelton con 9 pares de polos.

VELOCIDAD ANGULAR DE LA TURBINA

Como el generador es síncrono, por lo tanto, la frecuencia de la turbina debe ser constante en el tiempo, con el fin de mantener la frecuencia en la red eléctrica constante (60 Hz).

Es importante conocer la velocidad angular (ω) del rotor con el fin de conocer potencia eléctrica que produce el generador. Al ser constante la frecuencia del rotor también será constante su velocidad angular. La velocidad angular de la turbina es:

POTENCIA MECÁNICA GENERADA POR LA TURBINA

La potencia generada por la turbina se calcula con la siguiente expresión:

CANTIDAD DE ENERGÍA PRODUCIDA POR EL GENERADOR EN UN DÍA

La eficiencia de un generador eléctrico síncrono se encuentra entre el 98 y 99%, por lo que entrega una potencia de:

Teniendo la potencia que generada se calcula la energía producida por un día:

DATOS GENERALES MICROPLANTA GENERADORA PONTFICIA UNIVERSIDAD JAVERANA CALI (Ver tabla siguiente página)

REFERENCIAS

GALEANO GONZÁLES, DAVID ANDRÉS. “OPERACIÓN Y FUNCIONAMIENTO DE LOS GENERADORES SINCRÓNICOS MODERNIZADOS EN LA CENTRAL HIDROELÉCTRICA DE GUADALUPE IV”, Medellín, Colombia 2006. Artículo disponible en línea formato .pdf: http://www.bdigital.unal.edu.co/921/1/71361770_2006.pdf
ENERGY SIMIENS, “SIEMENS AIR-COOLED GENERATORS SGEN-100A-4P SERIES”.Artículo disponible en línea en formato .pdf: http://www.energy.siemens.com/hq/pool/hq/power-generation/generators/sgen-100a-4p/siemens-air-cooled-generators-sgen-100a-4p-brochure.pdf
ELECTROINDUSTRIA, “LA EFICIENCIA DE UN TRANSFORMADOR DE DISTRIBUCIÓN”, Artículo disponible en .pdf: http://www.emb.cl/electroindustria/articulo.mvc?xid=1136&tip=7